Lineaire interpolatie:
Bij ;ineare interpolatie wordt een functie f tussen twee basispunten, b.v. x0 en x1, vervangen door een rechte lijn, dat wil zeggen vervangen door een lineare functie p1, waarvoor geldt:
p1: x -> ax + b
De functies f en p1 hebben in de basispunten dezelfde functiewaarden , dus:
f(x) = p1(x)
p1(x0) = f(x0) = yo
p1(x1) = f(x1) = y1
Zoals bekend gaat door twee punten een ene slechts een lijn. De coefficienten a en b van deze rechte lijn kunnen we bepalen door het volgende stelsel liniare vergelijking op te lossen:
ax0 + b = y0
ax1 + b = y1
De oplossing is:
a= (y1 - y0) / (x1 - x0) en b= (x1y0 - x0y1) / (x1 - x0)
Invullen van deze waarden in p1:ax + b en enig herleiden geeft:
p1(x) = y0 + ( ( y1 - y0) / (x1 - x0) ) . (x - x0)
Dit is een formele met een eenvoudige meetkundige interpretatie: (zie fig).
[image]
De richtingscoefficient van de grafiek van p1 is gelijk aan:
a = (y1- y0) / (x1 - x0) = tan (alfa)
De tweede term van het rechterlid van p1(x) in de vorm (2) wordt in fig 3.36 voorgesteld door het lijnstuk AB.
Een andere vorm waarin p1(x), na opnieuw enig herleiden, geschreven kan worden is:
p1(x) = ( (x - x1) / (x0 - x1) ) . yo + ( (x -x0) / (x1 - x0) ) . y1
De benaderde functie waarde p1(x) is een mening van de functiewaarden y0 en y1 in de beide bassispunten. De mengcoeffiecient zijn lineare functies in x en hun som is altijd 1.